La Ecuación de Onda relaciona los cambios temporales y espaciales de los campos eléctricos y magnéticos en un medio, describe la propagación de una onda electromagnética a través de cualquier medio:

-\nabla^2 \vec{E} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2} = – \vec{\nabla} \frac{\rho}{\epsilon_{o}} + \mu_0 \frac{\partial \vec{J}}{\partial t}

-\nabla^2 \vec{B} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \mu_o \nabla \times \vec{J}

Donde \nabla ^2 es el operador laplaciano \nabla ^2 \vec{A} = (\frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2}) (A_x , A_y, A_z) = (\frac{\partial ^2 A_x}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 A_x}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 A_x}{\partial z^2},\frac{\partial ^2 A_y}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 A_y}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 A_y}{\partial z^2},\frac{\partial ^2 A_z}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 A_z}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 A_z}{\partial z^2}), \vec{\nabla}, el operador gradiente, \vec{\nabla}f = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) y, \nabla \times el operador rotacional \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\ \partial x & \partial y & \partial z \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}. 

En el caso del espacio vacío, \rho = 0, \vec{J} = \vec{0}, queda que

\nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial t^2}

\nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial ^2 \vec{B}}{\partial t^2}

Las cuales vamos a resolver a continuación.

Son ecuaciones en derivadas parciales o EDP, que vamos a resolver por separación de variables. Como tienen la misma estructura, tienen la misma solución así que sólo trataremos el campo eléctrico y la del magnético será la misma.

Suponemos que los campos son funciones de la posición \vec{r} y del tiempo t de la forma \vec{E}(\vec{r},t) y podemos separarlo en 2 funciones distintas \vec{E} = R(\vec{r})\cdot T(t), donde R y T son funciones de la posición y del tiempo respectivamente.

Si sustituimos esto en la ecuación nos queda:

\nabla^2 (R T)  = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 R T}{\partial t^2} \rightarrow T \, \nabla^2 R = \epsilon_0 \mu_0 R \frac{d^2 T}{dt^2}

Si dividimos entre E a ambos lados, llegamos a

\frac{1}{R}\nabla ^2 R = \epsilon_o \mu_o \frac{1}{T}\frac{d^2 T}{dt^2}

Cada lado depende de una variable distinta, por lo tanto ambos lados deben ser constantes e iguales entre sí, esa constante la llamamos -k^2 el número de onda al cuadrado y a \epsilon_o \mu_o = \frac{1}{c^2} la velocidad de la luz al cuadrado.

\nabla^2 R \, + \, k^2 R \, = \,0

\frac{d^2 T}{dt^2} \, + \, k^2 c^2 T \, = \, 0

De aquí podemos resolver rápidamente ambas ecuaciones definiendo \omega ^2 = k^2 c^2 la frecuencia angular y viendo que son la ecuación de helmholtz, llegando a que:

T(t) = A sen(\omega t) + B cos(\omega t)

R(\vec{r}) = C sen(\vec{k}\cdot \vec{r}) + D cos(\vec{k}\cdot \vec{r})

Si tomamos |E|(\vec{0},0) = |E_0|, A = C = 0, B \cdot D = |E_0|

|E| =R T = |E_0|cos(\vec{k}\cdot\vec{r})cos(\omega t) = \frac{|E_0|}{2}[cos(\vec{k}\cdot\vec{r}\, – \, \omega \, t) + cos(\vec{k}\cdot\vec{r}\, – \,\omega \, t)

Entonces, y recuperando el campo magnético:

\vec{E}(\vec{r},t) \, = \, \vec{E_0} \, cos(\vec{k}\cdot \vec{r} \, – \, \omega t)

\vec{B}(\vec{r},t) \, = \, \vec{B_0} \, cos(\vec{k}\cdot \vec{r} \, – \, \omega t)

Que son los campos de una onda armónica plana.

Hemos resuelto la versión más sencilla de la ecuación y ésta puede complicarse en gran medida, aunque toda onda onda puede descomponerse en suma de estas ondas armónicas planas gracias a la Transformada de Fourier y los Espacios de Hilbert.