Se define Campo Gravitatorio \vec{g} como la Fuerza Gravitatoria por unidad de masa que experimenta un cuerpo en un punto del espacio por estar bajo la acción de la Fuerza Gravitatoria.

\vec{g} \, = \, \frac{\vec{F}_{G}}{m} \, = \, -\frac{GM}{r^{2}}\hat{r}

[g] \, = \, N/kg \, = m/s^{2}

En el caso de la Tierra, a nivel del mar, este valor es relativamente constante y equivale a:

g \approx 9.8 m/s^{2}

Este campo puede calcularse mediante una integral para cada punto del espacio que se encuentra en una posición \vec{r} debido a la acción del planeta situado en el punto \vec{r_{o}}:

\vec{g} \, = \, G\int{\frac{(\vec{r}-\vec{r}_{o})}{|\vec{r}-\vec{r_{o}}|^{3}}dm}

Si la densidad no es constante a lo largo de todo el cuerpo:

\vec{g} \, = \, G\int{\frac{(\vec{r}-\vec{r}_{o})\rho(\vec{r})}{|\vec{r}-\vec{r_{o}}|^{3}}dV}

El caso más sencillo es el de una masa puntual M situada en el origen, por lo que \vec{r}' = 0, la integral de la masa es M, por lo que obtenemos que:

\vec{g}(\vec{r}) = -\frac{G M}{r^2}\hat{r} 

Peso:

Es la Fuerza que siente una masa debido a la Fuerza Gravitatoria. Para un cuerpo de masa m a nivel del mar, el Peso que sentirá es:

\vec{P} \, = \, -mg \, \vec{j}

Es una fuerza que siempre va hacia el centro de la tierra y es perpendicular al suelo. Esto se utiliza tanto en Dinámica como en tiro vertical o parabólico

Ley de Gauss (gravitación)

Es análoga a la Ley de Gauss pero para el campo gravitatorio. Permite calcular el flujo de Campo Gravitatorio que atraviesa una superficie como una constante por la masa encerrada dentro de dicha superficie:

\nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G \rho

O, en forma integral:

\oiint \vec{g}(\vec{r})\cdot d\vec{S} \, = \, -4\pi G M_{enc}

Si no conocemos la masa encerrada del planeta, podemos calcularla como:

M_{enc} \, = \, \oiiint \rho(\vec{r})dV

Vamos a hacer un ejemplo práctico tomando una masa puntual M  y queremos calcular el campo que genera a una distancia R de ella. Por simetría, debemos coger como nuestra superficie una corteza esférica de radio R. Si representamos este caso el campo gravitatorio sobre la superficie de la esfera obtenemos la siguiente imagen:

De donde podemos ver que el campo es constante en toda la superficie y perpendicular a la superficie, por tanto \vec{g}\cdot d\vec{S} = g \, dS. Viendo, además que M_{enc} = M y, sabiendo que, la superficie de una esfera de radio R es S = 4\pi R^2, podemos calcular el campo:

\int_S \vec{g}\cdot d\vec{S} = \int g \, dS = g \int dS = g \, S = -4\pi G M \rightarrow g = -\frac{G M}{R^2}

Que es la fórmula que obtuvimos antes.

A continuación te dejo un pequeño programa que te deja crear planetas pulsando y darle una velocidad inicial si arrastras al crearlos, pulsa Lanzar para empezar y Reiniciar para borrar todos los planetas.