Oscilaciones Amortiguadas Y Forzadas
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Los cuerpos sometidos a Oscilaciones Amortiguadas o Forzadas son aquellos que realizan un MAS el cual se le añade otra Fuerza además de la Fuerza elástica del movimiento, como una Fuerza de Rozamiento o una Fuerza que ayuda (o frena) al cuerpo en su movimiento.
Oscilaciones Amortiguadas:
En ellas la Fuerza es constante y actúa sobre la velocidad del cuerpo. Son fuerzas disipadoras, como la Fuerza de Rozamiento.
La ecuación del movimiento del cuerpo es de la forma:
ma \, = \, -kx \, – \, \lambda v
Donde \lambda es el Coeficiente de Amortiguamiento, que es una medida de la energía disipada por el medio. [\lambda] \, = \, N \,s / m
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} \, + \, B \frac{dx}{dt} \, + \, \omega^{2} x \, = \,0
Donde B \, = \, \frac{\lambda}{m} y \omega ^{2} \, = \, \frac{k}{m} la frecuencia angular en el instante inicial. Resolviendo la ecuación con condiciones iniciales de x(0) \, = \, 0, \ \ v(0) \, = \, A_{o} \, \omega_{0} se obtiene que:
x = A_{o} \omega (e^{-t(C- \frac{1}{2})} – e^{-t(C +\frac{1}{2})})
Donde C \, = \, \frac{B}{2\sqrt{B^{2}\, – \, 4\, \omega^{2}} }
Representando la Amplitud y el Movimiento del cuerpo en función del tiempo, obtenemos los gráficos siguientes:
Como puedes ver, el movimiento va perdiendo Amplitud con el tiempo, es decir, el móvil está perdiendo Energía Mecánica (en forma de calor, sonido…), sin embargo, el Periodo de Oscilación T \, = \, \frac{2\pi}{\omega} se mantiene constante en el tiempo.
Para este caso, B \, < \, 2\omega, lo que produce que el cuerpo describa Oscilaciones Subamortiguadas, es decir, que el cuerpo oscila perdiendo energía hasta detenerse.
Amortiguamiento Crítico:
Es aquel que ocurre cuando B \, = \, 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \, = \, 2 \, \omega, es el valor de B para el cual la velocidad de disipación es máximo, produciendo la siguiente gráfica:
En el caso de las Oscilaciones Críticas, el cuerpo no realiza ninguna oscilación completa, al igual que en el caso de las Oscilaciones Sobreamortiguadas, pero con la característica que para este valor de B el tiempo que tarda en volver al origen es el mínimo.
Sobreamortiguamiento:
Es el caso para B \, > \, 2\omega, el cuerpo no realiza ninguna oscilación completa, y el tiempo que tarda en volver a la posición inicial aumenta en función del valor de B, por ejemplo, mira las gráficas para B \, = \, 3\omega y para B \, = \, 8 \omega:
Para el caso de B \, = \, 3\omega (izquierda) tarda mucho menos en volver a la posición de inicio que en el caso de B \, = \, 8\omega (derecha), pero sigue tardando más que para el Amortiguamiento Crítico.
Potencia de Disipación:
Podemos calcular cuánta energía pierde el sistema por unidad de tiempo P_{dis} \, = \, – \frac{dE}{dt}, utilizando la fuerza de amortiguamiento, que es No Conservativa a diferencia de la fuerza de recuperación que sí lo es:
P_{dis} \, = F_{amor}\,v \, = \, \lambda \, v^{2}
Oscilaciones Forzadas.
Son aquellas donde actúa (además de la Fuerza de Rozamiento) una fuerza que acompaña (o frena) al cuerpo. El módulo, y sentido de esta Fuerza puede cambiar con el tiempo de forma periódica, siendo la expresión de la fuerza de la forma:
F \, = \, F_{o} cos(\omega_{f} \, + \, \delta)
Donde F_{o} es la amplitud de la Fuerza, \omega_{f} es la frecuencia angular de la Fuerza, y \delta es el desfase entre esta fuerza y la Fuerza Recuperadora (la de forma F \, = \, -k\,x). Incluyendo esta fuerza, la ecuación del movimiento queda:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + B \frac{dx}{dt} + \omega^{2} x = F_{o}cos(\omega_{f} + \delta)
C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t} + A \cos (w_{f} t + \delta – \phi), si B > 2\omega
C_1 + C_2 t e^{-\frac{B t}{2}} + A \cos (w_f t + \delta – \phi ), si \, B = 2\omega
e^{-\frac{B t}{2}} \left( C_1 \cos(\omega_d t) + C_2 \sin(\omega_d t) \right) + A\cos (w_f t + \delta – \phi ), si \, B < 2\omega
Donde \omega_d = \sqrt{w^2 – \frac{B^2}{4}} y el desfase \phi \, = \, arctg(\frac{B w_f}{w^2 – w_f^2}), A = \frac{F_{0}}{\sqrt{(w^{2} – w_{f}^{2})^{2} + B^{2} w_{f}^{2}}} y C_{1} y C_{2} se obtienen de las condiciones iniciales.
Como ves, son ecuaciones bastante complejas, pero solucionándolas para B < \omega y \omega_{f} \, = \, \omega, nos da el siguiente grafico:
