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Tiro Parabólico
Para describir este movimiento, es necesario descomponerlo en 2 ejes, el X e Y:
Antes de empezar, denotaré como \theta al ángulo de lanzamiento, es decir, el ángulo que hace la velocidad inicial v_{o} respecto a la horizontal.
- Eje X: es el eje horizontal, describe un MRU, por esto, sus ecuaciones son:
\left. x(t) \ = \ x_{o} \ + \ v_{o} \, cos\theta \, (t-t_{o}) \atop v(t) \ = \ v_{o}\,cos\theta \right\}
- Eje y: Describe un Tiro Vertical cuya aceleración proviene de la gravedad de la Tierra cuyas ecuaciones son:
\left. y(t) \ = \ y_{o} \ + \ v_{o} \, sin\theta \, (t-t_{o}) -\frac{1}{2}g \, (t-t_{o})^{2} \atop v(t) \ = \ v_{o}\,sin\theta – g(t-t_{o})\right\}
Con estas ecuaciones podemos conocer toda la trayectoria del móvil a lo largo de su movimiento, desde que es lanzado hasta que vuelve a caer a tierra. Si queremos conocer la altura en función de la posición en el eje X en vez del tiempo, basta con resolver el sistema de ecuaciones de los dos ejes y resulta en:
y(x)=y_{o}+x \, tg \theta -\frac{g}{2 v_{o}^{2} cos^{2} \theta} x^{2}
Que podemos ver es una parábola (polinomio de segundo grado), de ahí el nombre del movimiento. (Para x_{o} \, = \, 0, para otro valor, basta sustituir x con (x \, – \, x_{o})).
Derivación de Fórmulas:
En el caso tipo de Tiro Parabólico, el móvil sólo está sujeto a la Fuerza de la Gravedad, la cual siempre apunta hacia al suelo, por lo que sólo afecta al Eje y. Debido a esto, en el Eje x no hay ninguna fuerza, por lo que, según la Primera Ley de Newton, realizará un MRU, y en el Eje y un MRUA.
Las Fórmulas para cada eje son las del movimiento que realizan cada uno (ver derivación en cada movimiento).
La ecuación de la trayectoria se obtiene resolviendo el sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas, quedándonos una incógnita en función de otra (y(x)):
Partiendo de la ecuación x \, = \, x_{o} \, +v_{o} \, cos \theta \, (t \, – \, t_{o}), despejamos el tiempo, resultando en (t -t_{o}) \, = \, \frac{x \, – \, x_{o}}{v_{o} \, cos\theta)}, esto lo sustituimos en la primera ecuación del Eje y, quedando la ecuación final de la trayectoria. Además, resolviendo esta ecuación de segundo grado, podemos obtener la ecuación inversa (x(y)):
x(y) \, = \, x_{o} \, + \, \frac{v_{o}^{2}}{2g}sin(2\theta) \pm \sqrt{\frac{v_{o}^{4} \, sin^{2}(2\theta)}{4\, g^{2}} – \frac{2v_{o}^{2} \, cos^{2}(\theta)}{g}(y-y_{o})}
El hecho de que haya un \pm implica que para cada altura hay dos soluciones posibles de x, lo cual podemos ver en la gráfica, pues el cuerpo sube y baja pasando 2 veces por cada altura (menos para la altura máxima).