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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
También llamado Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). En él, como en el MRU, cuerpo se desplaza en la misma dirección, sin embargo, la velocidad no es constante, sino que cambia a una tasa uniforme, la aceleración:
a=\frac{v-v_{o}}{t-t_{o}}, \ \ [a] \, = \, m/s^{2}
De esta fórmula se puede deducir la siguiente:
v(t)=v_{o}+a(t-t_{o}), \ \ [v] \, = \, m/s
Que nos permite conocer la velocidad instantánea del cuerpo.
Como la velocidad es variable en el tiempo, la velocidad instantánea no se corresponde con la media, por lo que la fórmula vista en el MRU no es válida. Por lo que, para calcular la posición del cuerpo, necesitaremos hacerlo de diferente manera:
Tomando la fórmula de la velocidad media (v_{m}=\frac{\varDelta x}{\varDelta t}), si tomamos un incremento de tiempo \varDelta t cada vez más pequeño, el cambio en la posición también tiende a 0. Cuando estos cambios se vuelven infinitamente pequeños, v=v_{m}, por lo tanto, v=\frac{dx}{dt}=v_{o}+a(t-t_{o}). De donde se consigue que:
x(t)=x_{o}+v_{o}(t-t_{o})+\frac{1}{2}a (t-t_{o})^{2}
[x] = \, m \ \ [t] \, = \, s
Que es la ecuación de movimiento del MRUA, la cual nos permite conocer la posición del objeto en un instante dado.
Este es el movimiento que realizan los cuerpos sometidos a una Fuerza constante que no provoca un giro, es decir, que es tangente al movimiento. La aceleración del cuerpo puede calcularse a través de la Segunda Ley de Newton.
En el siguiente gráfico interactivo, puedes cambiar la velocidad y aceleración de dos móviles para ver como se mueven. Si pones la aceleración de un cuerpo a 0, describirá un MRU y si eliges una aceleración negativa, se frenará o irá hacia atrás:
Caída Libre y Tiro Vertical
Son casos específicos de MRUA donde la aceleración es causada por la gravedad de la tierra. Ésta aceleración en la superficie terrestre es más o menos uniforme, se denota g = 9.8 m/s^{2} siempre en dirección al suelo. En este movimiento, los objetos solamente suben y bajan cayendo en el mismo punto del que partieron, no se mueven hotizontalmente
Para caída libre, el cuerpo parte con velocidad inicial nula, y cae aceleradamente hasta llegar al suelo u otra superficie.
En tiro vertical, esta velocidad inicial no es nula, y se distinguen dos casos en función de si parte hacia abajo o hacia arriba:
- Si v_{o} está dirigida hacia el suelo. Simplemente describirá un MRUA normal hasta llegar al suelo.
- Si v_{o} está dirigida hacia arriba. El móvil comenzará a subir hasta llegar a una altura máxima, donde se detendrá y comenzará a caer en caída libre desde esa altura máxima hasta llegar al suelo.
Como podemos observar. El movimiento del cuerpo en Caída Libre es igual a la segunda rama (cuando ya ha alcanzado la altura máxima) del cuerpo en Tiro Vertical hacia arriba. También se observa que el móvil en Tiro Vertical hacia abajo es el que menos tarda en llegar al suelo.
La ecuación que representa la altura en función del cuerpo es la siguiente:
y(t) = y_{o} + v_{o}(t-t_{o}) – \frac{1}{2}g(t-t_{o})^{2}
Derivación de Fórmulas
Como la aceleración es constante en el tiempo, y sabiendo que, por definición, a \, = \, \frac{dv}{dt}, entonces a \, = \, \frac{\Delta v}{\Delta t}, la segunda fórmula es simplemente despejar v de la primera.
La tercera ya se complica un poco más.
Sabiendo cómo depende v del tiempo y que, por definición, v(t) \, = \, \frac{dx}{dt}, entonces,
\int_{x_{o}}^{x}dx \, = \, \int_{t_{o}}^{t}v(t’) dt’ \, = \, \int_{t_{o}}^{t}v_{o} + a (t – t_{o}) dt’, que realizando un cambio de variable, resulta en que x + x_{o} \, = \, v_{o} \, (t-t_{o}) + \frac{1}{2}a \, (t-t_{o})^{2} , de la que se obtiene la tercera fórmula.
El valor de g \, = \, 9.8 m/s^{2} es un valor medio del campo gravitatorio en la superficie terrestre obtenido a través de la Ley de Gravitación de Newton usando la masa de la tierra y el radio de la Tierra medio. g \, \approx \, \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}}{(6.371 \cdot 10^{6})^{2}}